Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₂-a₁=2，且3a₂為9a₁和a₃的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

a1q-a1=2 6a1q=9a1+a1q2

，由此能求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比．
（Ⅱ）由an=3n-1，得b_n=a_n+log₃a_n=3^n-1+n-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）在等比數(shù)列{a_n}中，a₂-a₁=2，且3a₂為9a₁和a₃的等差中項(xiàng)，
∴

a1q-a1=2 6a1q=9a1+a1q2

，
解得a₁=1，q=3．
（Ⅱ）∵a₁=1，q=3，∴an=3n-1，
∴b_n=a_n+log₃a_n=3^n-1+n-1，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
∴T_n=（1+3+3²+…+3^n-1）+（1+2+…+n）-n
=

1-3n

1-3

+

n(n+1)

2

-n
=

3n+n2-n-1

2

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為

3n+n2-n-1

2

．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．