Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，則k的取值范圍是（　�。�

• A、[e-1，+∞）
• B、[e，+∞）
• C、[e+1，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=e^x+x²-x對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等價(jià)于f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]內(nèi)的最大值與最小值的差小于等于k．

解答： 解：∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，
由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．又f′（x）單調(diào)遞增，可知f′（x）=0有唯一零點(diǎn)0，
∵f（-1）=

1

e

+2，f（1）=e，f（0）=1．
∴函數(shù)f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]內(nèi)的最大值是e，最小值是1．
∴函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
∵函數(shù)f（x）=e^x+x²-x對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
∴k≥e-1．
∴k的取值范圍為[e-1，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題的關(guān)鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．