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函數f（x）=（a+cosx）（a+sinx）（其中a≥0）的最大值g（a）=________．

a2+a+
分析：把函數解析式利用多項式的乘法法則去括號后，設sinx+cosx=t，根據同角三角函數間的基本關系用t表示出sinxcosx，把函數解析式化為g（t）關于t的二次函數，根據t的范圍，利用二次函數的性質，即可得到最大值g（a）的關系式．
解答：f（x）=（a+cosx）（a+sinx）
=a2+sinxcosx+a（sinx+cosx）
設sinx+cosx=t，即sin（x+）=t，
∴t∈[-，]，
∵（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，
則有sinxcosx=，
g（t）=a2++at=t2+at+a2-，
由g（t）為關于t的二次函數，其對稱軸為x=-a，
此時函數的最大值g（a）=g（）=a2+a+．
故答案為：a2+a+
點評：此題考查了同角三角間的基本關系，二次函數的性質，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域及值域，利用換元的思想，把此題轉化為求函數g（t）的最大值問題，從而根據二次函數的性質來解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+a．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）當x∈[-
π
6
，
π
3
]時，函數f（x）的最大值與最小值的和為
3
2
，求f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間[-2，2]上的值不大于2，則函數g（a）=log2a的值域是（　�。�
A、[-
1
2
，0)∪(0，
1
2
]
B、(-∞，-
1
2
)∪(0，
1
2
]
C、[-
1
2
，
1
2
]
D、[-
1
2
，0)∪[
1
2
，+∞)

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科目：高中數學 來源： 題型：

如果函數f（x）=ax2+（a+3）x-1在區(qū)間（-∞，1）上為遞增的，則a的取值范圍是（　�。�
A、[-1，0）B、（-1，0]C、（-1，0）D、[-1，0]

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科目：高中數學 來源： 題型：

8、已知函數f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b為常數，則方程f（ax+b）=0的解集為
∅
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=4lnx-ax+
a+3
x
（a≥0）
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a≥1時，設g（x）=2ex-4x+2a，若存在x1，x2∈[
1
2
，2]，使f（x1）＞g（x2），求實數a的取值范圍．（e為自然對數的底數，e=2.71828…）

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