設(shè)函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a.
(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-
π
6
,
π
3
]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值與最小值的和為
3
2
,求f(x)的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積.
分析:(1)先根據(jù)兩角和與差的正弦公式將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)為y=Asin(wx+ρ)+b的形式,根據(jù)T=
w
可求最小正周期,再由正弦函數(shù)的單調(diào)性確定單調(diào)區(qū)間.
(2)先根據(jù)x的范圍求出2x+
π
6
的范圍,再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最大值和最小值,進(jìn)而可得a的值,從而確定函數(shù)f(x)的解析式,再得到f(x)的圖象與x軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn),最后根據(jù)微積分的知識(shí)求出面積.
解答:解:(1)f(x)=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a
=sin(2x+
π
6
)+a+
1
2

∴T=π
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ
,得
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[
π
6
+kπ,
3
+kπ
](k∈Z)
(2)∵-
π
6
≤x≤
π
3
,∴-
π
6
≤2x+
π
6
6
,∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

當(dāng)x∈[-
π
6
,
π
3
]時(shí),原函數(shù)的最大值與最小值的和(1+a+
1
2
)+(-
1
2
+a+
1
2
)=
3
2

∴a=0,∴f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2

f(x)的圖象與x軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為(
π
2
,0)
所以f(x)的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
S=
π
2
0
[sin(2x+
π
6
)+
1
2
]dx
=[-
1
2
cos(2x+
π
6
)+
x
2
]
|
π
2
0
=
2
3
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和與差的正弦公式和三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí).三角函數(shù)是高考的必考題,要強(qiáng)化訓(xùn)練.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(2x+
π
3
),給出四個(gè)命題:①它的周期是π;②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對(duì)稱(chēng);③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
3
,0)成中心對(duì)稱(chēng);④它在區(qū)間[-
12
,
π
12
]上是增函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1
,其中θ∈[0,
6
],則導(dǎo)數(shù)f′(-1)的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+
π
4
)(ω>0),x∈(-∞,+∞),且以
3
為最小正周期.
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知f(
2
3
a+
π
12
)=
12
5
,求sinα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(2x+
π
3
),給出四個(gè)命題:①它的周期是2π;②它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
成軸對(duì)稱(chēng);③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(-
π
3
,0)成中心對(duì)稱(chēng);④它在區(qū)間[-
12
π
12
]上是增函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(2x+φ),φ∈(-π,0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x=
π
8

(1)求φ;
(2)求y=f(x)的減區(qū)間;
(3)當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí)求y=f(x)的值域.

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