Question

5．已知直線l₁，l₂的方程分別是l₁：A₁x+B₁y+C₁=0（A₁，B₂不同時(shí)為0），l₂：A₂x+B₂y+C₂=0（A₁、B₂不同時(shí)為0），且A₁A₂+B₁B₂=0，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析 當(dāng)A₁A₂≠0時(shí)，k₁=-$\frac{{{B}_{1}}^{\;}}{{A}_{1}}$，k₂=-$\frac{{B}_{2}}{{A}_{2}}$，由AA₁A₂+B₁B₂=0，得k₁•k₂=-1，從而l₁⊥l₂．若兩直線之一與y軸平行，則推導(dǎo)出另一條與x軸平行，亦有l(wèi)₁⊥l₂．由此能證明l₁⊥l₂．

解答 證明：∵直線l₁，l₂的方程分別是l₁：A₁x+B₁y+C₁=0（A₁，B₂不同時(shí)為0），
l₂：A₂x+B₂y+C₂=0（A₁、B₂不同時(shí)為0），
當(dāng)A₁A₂≠0時(shí)，k₁=-$\frac{{{B}_{1}}^{\;}}{{A}_{1}}$，k₂=-$\frac{{B}_{2}}{{A}_{2}}$，
∵AA₁A₂+B₁B₂=0，∴k₁•k₂=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{{A}_{1}{A}_{2}}$，∴l(xiāng)₁⊥l₂．
若兩直線之一與y軸平行，設(shè)l₁∥y軸，則k₁不存在，A₁=0，B₁≠0．
由A₁A₂+B₁B₂=0，得B₂=0，k₂=0，l₂‖x軸，亦有l(wèi)₁⊥l₂．
綜上，l₁⊥l₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線平行的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意兩直線平行的充要條件的合理運(yùn)用．