Question

已知關于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0；
（1）若該方程的一根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）若該方程的兩個根都在（0，1）內(nèi)且它們的平方和為1，求實數(shù)m的取值集合．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）構造函數(shù)，根據(jù)方程的一根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上，有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，從而求實數(shù)m的取值范圍；
（2）由題意，設x1=sinα，x2=cosα，α∈(0，

π

2

)，利用韋達定理，即可得到不等式，從而可求實數(shù)m的取值集合．

解答： 解：（1）記f（x）=4x²-2（m+1）x+m，則
∵方程的一根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上，
∴有f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，
即

m＞0 4-2(m+1)+m＜0 16-4(m+1)+m＞0

，
解得：2＜m＜4．
（2）由題意，設x1=sinα，x2=cosα，α∈(0，

π

2

)，
則有

△≥0 sinα+cosα= m+1 2 sinαcosα= m 4 sinα＞0，cosα＞0

，
解得m=

3

，檢驗符合題意．
∴m∈{

3

}．

點評：本題考查方程根的討論，考查函數(shù)與方程思想，考查學生的計算能力，正確建立不等式是關鍵．