Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1，a∈R
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求出函數(shù)的字母系數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，在定義域中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有兩個零點，等價為f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上有兩個零點，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵y=f（x）在點P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，
∴f′（1）=-1，
∵f（x）=

a

x

+lnx-1，
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
則f′（1）=1-a=-1，解得a=2，
此時f′（x）=

x-a

x2

=

x-2

x2

，
由f′（x）＞0，解得x＞2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為（2，+∞），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，減區(qū)間為（0，2）．
（2）∵f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
∴f（x）在0＜x＜a時遞減，x＞a時遞增，x=a處達到最小值f（a）=lna，
若y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有兩個零點，
說明f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上有兩個零點，
則首先a∈[

1

2

，e+

1

2

]，否則f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上單調(diào)，不可能有兩個零點，
然后一定有f（a）＜0，f（

1

2

）≥0，f（e+

1

2

）≥0，
即lna＜0，解得a＜1，
由2a+ln

1

2

-1≥0，得到a≥

1

2

（1+ln2），
即

1

2

（1+ln2）≤a＜1．

點評：本題考查函數(shù)的綜合題目，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題還要注意恒成立問題．