Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，s_n為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N^*，總有a_n，s_n，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）正數(shù)數(shù)列{c_n}中，a_n+1=，（n∈N°）．求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得2，則（n≥2），兩式相減整理可得a_n-a_n-1=1，令n=1解得a₁，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（Ⅱ）由已知，a_n+1=，分別令n=1，2，3，4可求c₁，c₂，c₃，c₄，結(jié)合幾項(xiàng)的值，猜想{c_n}的單調(diào)性，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)在[3，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而可知{c_n}的單調(diào)性，即可判斷
解答：（Ⅰ）解：由已知：對于任意n∈N^*，總有2①成立
∴（n≥2）②
①--②得
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵各項(xiàng)都均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1   （n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時(shí)，，解得a₁=1
∴a_n=n．
（Ⅱ）由已知  =2可得c₁=
=3可得，
=4可得c₃=
=5可得c₄=
易得 c₁＜c₂＞c₃＞c₄
猜想 n≥2 時(shí)，{c_n}是遞減數(shù)列．
令
∴=
∵當(dāng)x≥3時(shí)lnx＞1，則1-lnx＜0，即f‘（x）＜0
∴在[3，+∞）內(nèi)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
由a_n+1=，可得．
∴n≥2 時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列．即{c_n}是遞減數(shù)列．
又c₁＜c₂，
∴數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)為c₂=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及利用函數(shù)的單調(diào)性判斷相應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性及利用單調(diào)性判斷數(shù)列取得的最大項(xiàng)