Question

9．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別是棱AA₁、CC₁的中點，過直線EF的平面分別與棱BB₁，DD₁交于M、N兩點，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD₁B₁；
②四邊形MENF的周長L=f （x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
③四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C₁-MENF的體積V=h（x），x∈[0，1]為常值函數(shù)．
其中真命題的編號為①④．

Answer 1

分析 ①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②當x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，EM的長度由大變小．當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)；③四邊形MENF的對角線EF是固定的，根據(jù)對稱性，可得四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]不是單調(diào)函數(shù)；④求出四棱錐的體積，進行判斷．

解答 解：①連結BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確．
②因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，EM的長度由大變小．當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤．
③連結MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，根據(jù)對稱性，可得四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]不是單調(diào)函數(shù)，故不正確．
④連結C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查空間立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進行的有機的結合，綜合性較強，設計巧妙，對學生的解題能力要求較高．