Question

3．已知$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OC}=（-1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}$=（cosα，sinα），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}]$
• B． $[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$
• C． $[\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}]$
• D． $[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$

Answer 1

分析 由題知點B在以C（-1，$\sqrt{3}$）為圓心，1為半徑的圓上，所以本題應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合來解題，由圖來分析其夾角的最大值點、最小值點，從而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，由題意可得$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$=（-1 $\sqrt{3}$）+（cosα，sinα）=（-1+cosα，$\sqrt{3}$+sinα），
令x=cosα-1，y=sinα+$\sqrt{3}$，則有 （x+1）²+${（y-\sqrt{3}）}^{2}$=1，
故點B在以C（-1，$\sqrt{3}$）為圓心、半徑等于1的圓上，如圖：
直角三角形OCD中，sin∠COD=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，∴∠COD=$\frac{π}{6}$=∠COE．
故則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角的夾角的最小值為∠AOD=$\frac{π}{2}$，最大值為∠AOE=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
即則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角的取值范圍是[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
故選：A．

點評 本題考查向量的坐標運算及向量的數(shù)量積與夾角，解題的關(guān)鍵是求出點B的軌跡，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解，屬于中檔題．