Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的增減性，并用定義證明；
（3）求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0，可得函數(shù)的定義域；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．運(yùn)用定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的定義域?yàn)閧x|x≠0，且x∈R}；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．
理由如下：設(shè)2≤m＜n，則f（m）-f（n）=m+$\frac{1}{m}$-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
由2≤m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，1-$\frac{1}{mn}$＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．
則f（2）取得最小值，且為$\frac{5}{2}$，無最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．