Question

17．已知直角三角形的周長為4．求這個直角三角形面積的最大值．并求此時各邊的長．

Answer 1

分析 設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，兩次運用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為S，周長L=4，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（當且僅當a=b時取等號）
∴$\sqrt{ab}$≤4-2$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（4-2$\sqrt{2}$）²=12-8$\sqrt{2}$
∴這個直角三角形面積的最大值為12-8$\sqrt{2}$，各邊的長為a=b=4-2$\sqrt{2}$，c=4$\sqrt{2}$-4．

點評 利用均值不等式解決實際問題時，列出有關量的函數關系式或方程式是均值不等式求解或轉化的關鍵．