Question

9．已知f（x）=ax²-2x（0≤x≤1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥-1恒成立，求a的范圍；
（3）若f（x）=0的兩根都在[0，1]內(nèi)，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于函數(shù)f（x）=ax²-2x，①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x，可得函數(shù)f（x）的最小值．②當(dāng)a≠0時(shí)，再分a＜0，、0＜a＜1、a≥1三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．
（2）由題意可得ax²-2x+1≥0恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．
（3）由題意可得0＜$\frac{1}{a}$≤1，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=ax²-2x，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x，再結(jié)合0≤x≤1，
可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-2．
②當(dāng)a≠0時(shí)，它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{a}$，
若a＜0，它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{a}$＜0，
再結(jié)合0≤x≤1，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為a-2．
若0＜a＜1，則它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{a}$＞1，再結(jié)合0≤x≤1，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為a-2．
若a≥1，則它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{a}$≤1，再結(jié)合0≤x≤1，
則當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{1}{a}$-2．
（2）若f（x）≥-1恒成立，則ax²-2x+1≥0恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，求得a≥1．
（3）若f（x）=ax²-2x=0的兩根都在[0，1]內(nèi)，則0＜$\frac{1}{a}$≤1，求得a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．