Question

6．（1）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式構(gòu)造出{a_n-1}是以$-\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把已知數(shù)列遞推式變形，得到a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），累加法求出n≥3時(shí)的通項(xiàng)公式，已知n=1、2后得答案．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，得${a}_{n+1}-1=\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）$，
∵${a}_{1}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠0$，
∴{a_n-1}是以$-\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-1=-\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，則${a}_{n}=1-\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），得
S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1，n≥3．
檢驗(yàn)知n=1，2時(shí)，結(jié)論也成立．
故a_n=2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．