Question

2．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{n-1}}（n≤5）}\\{\frac{2}{{3}^{n}}（n≥6）}\end{array}\right.$（n∈N^*），設(shè)S為數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和，則S=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≤5}\\{\frac{47}{16}-（\frac{1}{3}）^{n-5}，n≥6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 當(dāng)n≤5時(shí)，${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$，為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$，
利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：當(dāng)n≤5時(shí)，${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$，S=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$，為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$，
∴S=S₅+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-5}]}{1-\frac{1}{3}}$
=$2-\frac{1}{{2}^{4}}$+1-$（\frac{1}{3}）^{n-5}$
=3-$\frac{1}{16}$-$（\frac{1}{3}）^{n-5}$．
故答案為：S=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≤5}\\{\frac{47}{16}-（\frac{1}{3}）^{n-5}，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．