Question

2．已知f（x）=ax³-6x²+b（a≠0），在[1，2]上單調(diào)遞增，且最大值為1．
（1）求實數(shù)a和b的取值范圍；
（2）當a取最小值時，試判斷方程f（x）=24x的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，由題意f′（x）≥0在[1，2]恒成立，運用參數(shù)分離，可得a的范圍，再由f（2）=1，可得b的范圍；
（2）求出f（x）的解析式，再令g（x）=4x³-6x²-24x-7，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，判斷符號，即可得到根的個數(shù)．

解答 解：（1）f（x）=ax³-6x²+b的導數(shù)為f′（x）=3ax²-12x，
由在[1，2]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[1，2]恒成立，
即有a≥$\frac{4}{x}$的最大值，由$\frac{4}{x}$∈[2，4]，
可得a≥4，
又在[1，2]上單調(diào)遞增，且最大值為1．
即有f（2）=1，即有8a-24+b=1，
即b=25-8a≤-7．
則a，b的范圍是a≥4，b≤-7；
（2）由（1）可得a=4，b=-7，
f（x）=4x³-6x²-7，
f（x）=24x即為4x³-6x²-24x-7=0，
令g（x）=4x³-6x²-24x-7，g′（x）=12x²-12x-24，
當x＞2或x＜-1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當-1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=-1處取得極大值，且為7，
x=2處取得極小值，且為-47．
且x→+∞，g（x）→+∞；x→-∞，g（x）→-∞．
則方程f（x）=24x的根的個數(shù)為3．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．