Question

已知向量

a

=（

3

，2），

b

=（sin2ωx，-cos²ωx），（ω＞0）．
（Ⅰ）若f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π，求f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值時x的集合；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意表示出函數(shù)的解析式，并利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)周期公式求得ω，得到函數(shù)解析式，令2sin（2x-

π

6

）=1求得x的集合，進而求得函數(shù)的最大值．
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

求得x的范圍即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=

3

sin2ωx-2cos²ωx=

3

sin2ωx-cos2x-1=2sin（2ωx-

π

6

）-1，
T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
令2sin（2x-

π

6

）=1，即sin（2x-

π

6

）=

1

2

，
2x-

π

6

=2kπ+

π

6

或2x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
即x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴當x=kπ+

π

6

或x=kπ+

π

2

（k∈Z）時，函數(shù)取得最大值1．
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．在解決三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題時常結(jié)合三角函數(shù)的圖象來解決．