Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1
（1）過M（1，1）的直線交雙曲線于A，B兩點，若M 為AB的中點，求直線AB的方程．
（2）是否存在直線L，使N（1，

1

2

）為L被雙曲線所截弦的中點，若存在，求出L的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設過M（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入雙曲線方程，再相減，運用平方差公式和中點坐標公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進而得到直線方程，檢驗判別式即可；
（2）假設存在直線l，使N（1，

1

2

）為l被雙曲線所截弦的中點，則設弦CD的C、D兩點的坐標為（x₃，y₃），（x₄，y₄），代入雙曲線方程，再相減，運用平方差公式和中點坐標公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進而得到直線方程，檢驗判別式的符號即可判斷．

解答： 解：（1）設過M（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），
A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁²-2y₁²=4，x₂²-2y₂²=4，
相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=2（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由M為AB的中點，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
即有直線AB的方程：y-1=

1

2

（x-1），即有y=

1

2

x+

1

2

，
代入雙曲線方程x²-2y²=4，檢驗判別式大于0，成立，
則所求直線方程為：有y=

1

2

x+

1

2

；
（2）假設存在直線l，使N（1，

1

2

）為l被雙曲線所截弦的中點．
則設弦CD的C、D兩點的坐標為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
則x₃²-2y₃²=4，x₄²-2y₄²=4，
相減可得，（x₃-x₄）（x₃+x₄）=2（y₃-y₄）（y₃+y₄）
由N為CD的中點，則x₃+x₄=2，y₃+y₄=1，
則k=

y3-y4

x3-x4

=1，
則直線CD的方程為：y-

1

2

=x-1，即y=x-

1

2

，
代入雙曲線方程x²-2y²=4，可得，x²-2x+

9

4

=0，
由于判別式為4-9＜0，則該直線l不存在．

點評：本題考查雙曲線的方程和運用，考查點差法求中點問題，注意檢驗判別式的符號，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．