Question

4．已知函數(shù)f（x）=t（$\frac{1}{x}$-1）+lnx，t為常數(shù)，且t＞0．
（1）若曲線y=f（x）上一點（$\frac{1}{2}$，y₀）處的切線方程為y+2x+ln2-2=0，求t和y₀；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求t的取值范圍；
（3）當(dāng)t=1時，證明：1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)條件列方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}+2×\frac{1}{2}+ln-2=0}\\{f′（\frac{1}{2}）=-2}\end{array}\right.$，并解方程組即可求出結(jié)果；
（2）由f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)⇒f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，然后分離參數(shù)t≤x恒成立，進(jìn)而根據(jù)x≥1，求出t的范圍．
（3）當(dāng)t=1時，由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，f（1）=0，可得f（x）≥0，即1-$\frac{1}{x}$≤lnx 成立．再根據(jù)m（x）=x-1-lnx在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，m（1）=0，可得m（x）≥0，即lnx≤x-1．綜合即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=t（$\frac{1}{x}$-1）+lnx，t為常數(shù)，且t＞0，∴f'（x）=$\frac{x-t}{{x}^{2}}$（x＞0）．
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}+2×\frac{1}{2}+ln-2=0}\\{f′（\frac{1}{2}）=-2}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{{y}_{0}=1-ln2}\end{array}\right.$．
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，即t≤x恒成立．
∵x≥1，∴t≤1．
又∵t＞0，∴0＜t≤1．
（3）當(dāng)t=1時，∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，f（1）=0，
∴f（x）≥0，即1-$\frac{1}{x}$≤lnx 成立．
再根據(jù)m（x）=x-1-lnx在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，m（1）=0，∴m（x）≥0，
即lnx≤x-1．
綜上可得，1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及求切線方程，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．