在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C，直線l：y=kx+
2
與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使
OP
•
OQ
=0？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（Ⅰ）M的軌跡C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在x軸上焦距為2
3
的橢圓，由此可求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）將y=kx+
2
，代入曲線C的方程，整理得(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0．然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值．
解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M到(-
3
，0)，(
3
，0)的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在x軸上焦距為2
3
的橢圓，其方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）將y=kx+
2
，代入曲線C的方程，
整理得(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0．①
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得x1+x2=-
8
2
k
1+4k2
，x1x2=
4
1+4k2
．②
又y1•y2=(kx1+
2
)(kx2+
2
)=k2x1x2+
2
k(x1+x2)+2．③
若
OP
•
OQ
=0，則x1x2+y1y2=0，
將②、③代入上式，解得k=±
6
2
．
又因k的取值應(yīng)滿足△＞0，即4k2-1＞0（*），
將k=±
6
2
代入（*）式知符合題意．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的軌跡方程和直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)作答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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