【題目】若A1,A2,…,Am為集合A={1,2,…,n}(n≥2且n∈N*)的子集,且滿足兩個(gè)條件:
①A1∪A2∪…∪Am=A;
②對任意的{x,y}A,至少存在一個(gè)i∈{1,2,3,…,m},使Ai∩{x,y}={x}或{y}.則稱集合組A1,A2,…,Am具有性質(zhì)P.
如圖,作n行m列數(shù)表,定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為akl.
a11 | a12 | … | a1m |
a21 | a22 | … | a2m |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | anm |
(1)當(dāng)n=4時(shí),判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P,如果是請畫出所對應(yīng)的表格,如果不是請說明理由;
集合組1:A1={1,3},A2={2,3},A3={4};
集合組2:A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}.
(2)當(dāng)n=7時(shí),若集合組A1,A2,A3具有性質(zhì)P,請先畫出所對應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表,再依此表格分別寫出集合A1,A2,A3;
(3)當(dāng)n=100時(shí),集合組A1,A2,…,At是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組,求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值.(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個(gè)數(shù))
【答案】(1)集合組1具有性質(zhì)P,集合組2不具有性質(zhì)P,理由見解析;(2)圖見解析,A1={3,4,5,7},A2={2,4,6,7},A3={1,5,6,7};(3)304
【解析】
(1)根據(jù)題意檢驗(yàn)兩個(gè)集合組是否滿足性質(zhì)即可;
(2)一共7行對應(yīng)1,2,3,4,5,6,7,七個(gè)數(shù),其中每列的1或0代表這個(gè)集合里面有或者無對應(yīng)的數(shù),要求每行必須有1,任意兩個(gè)數(shù)至少有一列只出現(xiàn)一個(gè);
(3)條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0,由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同,結(jié)合排列組合知識(shí)求解.
(1)集合組1具有性質(zhì)P.
所對應(yīng)的數(shù)表為:
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
集合組2不具有性質(zhì)P.
因?yàn)榇嬖?/span>{2,3}{1,2,3,4},有{2,3}∩A1={2,3},{2,3}∩A2={2,3},{2,3}∩A3=,
與對任意的{x,y}A,都至少存在一個(gè)i∈{1,2,3},有Ai∩{x,y}={x}或{y}矛盾,
所以集合組A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}不具有性質(zhì)P.…
(2)
A1={3,4,5,7},A2={2,4,6,7},A3={1,5,6,7}.
(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對應(yīng)的集合組也不同)
(3)設(shè)A1,A2,…,At所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M,
因?yàn)榧辖MA1,A2,…,At為具有性質(zhì)P的集合組,所以集合組A1,A2,…,At滿足條件①和②,
由條件①:A1∪A2∪…∪At=A,可得對任意x∈A,都存在i∈{1,2,3,…,t}有x∈Ai,
所以axi=1,即第x行不全為0,所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0.
由條件②知,對任意的{x,y}A,都至少存在一個(gè)i∈{1,2,3,…,t},使Ai∩{x,y}={x}或{y},所以axi,ayi一定是一個(gè)1一個(gè)0,即第x行與第y行的第i列的兩個(gè)數(shù)一定不同.
所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同.
因?yàn)橛?/span>0,1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個(gè),去掉全是0的t元有序數(shù)組,共有2t﹣1個(gè),又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同,所以100≤2t﹣1,所以t≥7.
又t=7時(shí),由0,1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個(gè),去掉全是0的數(shù)組,共127個(gè),選擇其中的100個(gè)數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表,則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì)P.所以t=7.
因?yàn)?/span>|A1|+|A2|+…+|At|等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù),
所以,要使|A1|+|A2|+…+|At|取得最小值,只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少,
而t=7時(shí),在數(shù)表M中,1的個(gè)數(shù)為1的行最多7行;1的個(gè)數(shù)為2的行最多C72=21行;1的個(gè)數(shù)為3的行最多C73=35行;1的個(gè)數(shù)為4的行最多C74=35行;
因?yàn)樯鲜龉灿?/span>98行,所以還有2行各有5個(gè)1,
所以此時(shí)表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304個(gè)1.所以|A1|+|A2|+…+|At|的最小值為304.
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日均濃度 | ||||||
空氣質(zhì)量級(jí)別 | 一級(jí) | 二級(jí) | 三級(jí) | 四級(jí) | 五級(jí) | 六級(jí) |
空氣質(zhì)量類型 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
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(Ⅲ)在乙城市15個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個(gè),設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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