Question

2．若二項式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中只有第四項的系數(shù)最大，則這個展開式中任取一項為有理項的概率是$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 先利用展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大求出n=6，再求出其通項公式，求出r=0，2，4，6時，為有理項，即可求出概率．

解答 解：因為二項式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中只有第四項的系數(shù)最大，
所以n=6．
所以其通項為T_r+1=${C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$
所以r=0，2，4，6時，為有理項，
所以所求概率為$\frac{4}{7}$，
故答案為：$\frac{4}{7}$．

點評 本題主要考查二項式定理中的常用結(jié)論：如果n為奇數(shù)，那么是正中間兩項的二項式系數(shù)最大；如果n為偶數(shù)，那么是正中間一項的二項式系數(shù)最大．