Question

19．如圖，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，|AB|=4，有一曲線C過Q點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）求曲線C與半圓ADB的公共弦的長(zhǎng)，并求此公共弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變可得曲線C為以O(shè)為中心，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，再求出對(duì)應(yīng)的a，b，c即可；
（Ⅱ）求得半圓的方程，聯(lián)立橢圓方程，求得交點(diǎn)，即可得到弦長(zhǎng)及弦所在的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，
建立平面直角坐標(biāo)系．
由于|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2$\sqrt{5}$＞|AB|=4，
∴曲線C為以O(shè)為中心，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距為c
∴a=$\sqrt{5}$，c=2，b=1，
所以所求曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（Ⅱ）半圓ADB的方程為x²+y²=4，
聯(lián)立曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
解得x=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，y=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，
即交點(diǎn)為（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則公共弦長(zhǎng)為$\sqrt{15}$，
此公共弦所在的直線方程為y=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程的運(yùn)用，同時(shí)考查橢圓的定義、方程的求法及運(yùn)用，屬于中檔題．