Question

10．設(shè)AB，CD是過拋物線y²=8x-2焦點(diǎn)F的兩條弦，AB、CD的傾角分別為α、2α，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{CD}$|，求|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{CD}$|的值．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)出直線AB的參數(shù)方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，可得弦長AB，同理可得弦長CD，結(jié)合條件，運(yùn)用二倍角公式和同角公式，計(jì)算可得AB，CD的長．

解答 解：拋物線y²=8x-2，
即為y²=8（x-$\frac{1}{4}$），
焦點(diǎn)F（$\frac{9}{4}$，0），
設(shè)弦AB所在的直線方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線方程得t²sin²α-8tcosα-16=0，
t₁+t₂=$\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{16}{si{n}^{2}α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（\frac{8cosα}{si{n}^{2}α}）^{2}+\frac{64}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{8}{si{n}^{2}α}$，
同理可得|CD|=$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$，
∵|AB|=2|CD|，
即為$\frac{1}{si{n}^{2}α}$=$\frac{2}{4si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$，
∴cos²α=$\frac{1}{2}$，sin²α=$\frac{1}{2}$，
∴sin²2α=4sin²αcos²α=1，
∴|AB|=16，|CD|=8．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，屬于中檔題．