Question

4．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{_{n}-1}$，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列并求通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得到數(shù)列{b_n}的通項公式，代入c_n=$\frac{1}{_{n}-1}$，即可證得數(shù)列{c_n}是等差數(shù)，并得到其通項公式．

解答 （Ⅰ）解：∵a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，∴$_{1}=\frac{3}{4}$；
又b_n+1=$\frac{_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$，
∴$_{2}=\frac{_{1}}{（1-{a}_{1}）（1+{a}_{1}）}=\frac{\frac{3}{4}}{（1-\frac{1}{4}）（1+\frac{1}{4}）}$=$\frac{4}{5}$；
${a}_{2}=1-_{2}=\frac{1}{5}$，$_{3}=\frac{_{2}}{（1-{a}_{2}）（1+{a}_{2}）}=\frac{\frac{4}{5}}{（1-\frac{1}{5}）（1+\frac{1}{5}）}$=$\frac{5}{6}$；
${a}_{3}=1-_{3}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，$_{4}=\frac{_{3}}{（1-{a}_{3}）（1+{a}_{3}）}=\frac{\frac{5}{6}}{（1-\frac{1}{6}）（1+\frac{1}{6}）}$=$\frac{6}{7}$．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：$_{n}=\frac{n+2}{n+3}$，
∴c_n=$\frac{1}{_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{n+2}{n+3}-1}=-n-3$．
∴c_n+1-c_n=-（n+1）-3+n+3=-1．
則數(shù)列{c_n}是公差為-1的等差數(shù)列，其通項公式為c_n=-n-3．

點評 本題考查等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題．