Question

10．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥4\\ 2x+y≤4\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為D，則區(qū)域D的面積為$\frac{4}{3}$；若直線y=ax-1與區(qū)域D有公共點，則a的取值范圍是[$\frac{7}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)線性規(guī)劃的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則對應(yīng)的區(qū)域為三角形ABC，
其中A（0，2），B（0，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×（4-2）×$$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
直線y=ax-1過定點E（0，-1），
要使線y=ax-1與區(qū)域D有公共點，
則滿足C在直線的下方或通過點C，
此時$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$a-1，
解得a=$\frac{7}{4}$．則滿足a≥$\frac{7}{4}$．，
故答案為：$\frac{4}{3}；[\frac{7}{4}，+∞）$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．