Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=3時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點(diǎn)M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）：已知f′（-1）=0，根據(jù)求導(dǎo)數(shù)的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到關(guān)于a和b的等式解出b即可；
（2）：令f′（x）=0求出穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)x的值1-2a和-1，根據(jù)1-2a和-1的大、小、相等分三種情況討論函數(shù)的增減性即可；
（3）：由（1）求出極值點(diǎn)，由兩點(diǎn)式求出直線方程，與曲線方程聯(lián)立判斷有無其他公共點(diǎn)．

解答： 解：（1）依題意，得f'（x）=x²+2ax+b
由f'（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1
（2）由（1）得f(x)=

1

3

x3+ax2+(2a-1)x
故f'（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f'（x）=0，得x=-1或x=1-2a
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-2a）	（1-2a，-1）	（-1+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

①當(dāng)a＞1時(shí)，1-2a＜-1由此得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）．
②當(dāng)a=1時(shí)，1-2a=-1．此時(shí)f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R．
③當(dāng)a＜1時(shí)，1-2a＞-1同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）．
（3）：當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=

1

3

x³+3x²+5x，
由得f'（x）=x²+6x+5，解得x=-5或x=-1，
由（2）知函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-5）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-5，-1）
∴函數(shù)f（x）在x₁=-5，x₂=-1處取得極值，
故M(-5，

25

3

)，N(-1，-

7

3

)
∴直線MN的方程為，y=-

8

3

x-5．
由

y= 1 3 x3+3x2+5x y=- 8 3 x-5

消去y得：得x³+9x²+23x+15=0，
令F（x）=x³+9x²+23x+15．
易得F（-4）=3＞0，F(xiàn)（-2）=-3＜0，而F（x）的圖象在（-4，-2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故F（x）在（-4，-2）內(nèi)存在零點(diǎn)x₀，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．