Question

已知向量

a

=（cosx，sinx）向量

b

=（cosx，-sinx），f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求函數(shù) g（x）=f（x）+sin2x的最小正周期和對稱軸方程；
（Ⅱ）若x是第一象限角且3f（x）=4sin2x，求tan（x+

π

4

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出；
（II）利用倍角公式、兩角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=cos²x-sin²x=cos2x，
∴g(x)=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴最小正周期T=

2π

2

=π；
 由2x+

π

4

=kπ+

π

2

解得：對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

(k∈Z)．
（Ⅱ）由3f（x）=4sin2x，得3cos2x=4sin2x，∴tan2x=

3

4

．
∴

2tanx

1-tan2x

=

3

4

，化為3tan²x+8tanx-3=0，
解得tanx=

1

3

或-3．
又x是第一象限角，∴tanx=

1

3

．∴tan（x+

π

4

）=

tanx+1

1-tanx

=

1 3 +1

1- 1 3

=2．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和差的正切公式，考查了計算能力，屬于中檔題．