已知
a
、
b
都是非零向量，且
a
+3
b
與7
a
-5
b
垂直，
a
-4
b
與7
a
-2
b
垂直，求
a
與
b
的夾角．
分析：根據(jù)互相垂直的兩個向量數(shù)量積為零，得（
a
+3
b
）•（7
a
-5
b
）=0且（
a
-4
b
）•（7
a
-2
b
）=0．由此結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，化簡整理得|
a
|=|
b
|且2
a
•
b
=
b
2，再運(yùn)用向量夾角公式，得到
a
、
b
的夾角余弦值，即得
a
與
b
的夾角大�。�
解答：解：由題意，得
（
a
+3
b
）•（7
a
-5
b
）=0且（
a
-4
b
）•（7
a
-2
b
）=0，
即7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0…①，
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0…②
①-②得2
a
•
b
=
b
2，代入①式得
a
2=
b
2，|
a
|=|
b
|
∴cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
|
b
|2
|
b
|2
=
1
2
，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=60°
即
a
與
b
的夾角為60°．
點(diǎn)評：本題給出關(guān)于向量
a
、
b
的幾個線性組合，在已知兩對向量互相垂直的情況下求向量
a
與
b
的夾角大小．著重考查了平面向量數(shù)量積的公式及其運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b都是非零向量，且
a
+3
b
與7
a
-5
b
垂直，
a
-4
b
與7
a
-2
b
垂直，則
a
與
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b都是非零向量，且（
a
+3
b
）與（7
a
-5
b
）垂直，（
a
-4
b
）與（7
a
-2
b
）垂直，求
a
與
b
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直.求a、b的夾角.

      

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆遼寧省盤錦市高二9月期初考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.

 

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