Question

已知函數(shù)y=，求：

（1）當(dāng)x∈(0,+∞)時，函數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)x∈［2,+∞)時，函數(shù)的最大值.

Answer 1

思路點撥：求函數(shù)的最大值，可以根據(jù)函數(shù)的特點對函數(shù)解析式進(jìn)行變形，本題由于分子是一次式，分母是二次式，所以可以變形為y=這種形式，然后根據(jù)均值定理和函數(shù)y=x+的單調(diào)性求得最大值；另一方面我們也可以把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成方程，然后根據(jù)方程有根的情況求得y的最大值.

解法一：把y=變形為y=，

（1）當(dāng)x∈(0,+∞)時，由于x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取“=”），

∴y≤40（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取“=”）,即y的最大值是40.

（2）當(dāng)x∈［2,+∞)時，x+是x的增函數(shù)，∴當(dāng)x=2時，x+取得最小值，因此，當(dāng)x=2時y=取得最大值32.

解法二：由y=變形得yx²-80x+y=0.

(1)∵x∈(0,+∞)，因此方程yx²-80x+y=0的判別式Δ=80²-4y²≥0，

∴-40≤y≤40.當(dāng)y=40時，代入方程yx²-80x+y=0可得x=1,適合x＞0,

∴y的最大值為40.（當(dāng)x=1時取得）

（2）∵x∈［2,+∞)，

∴關(guān)于x的方程yx²-80x+y=0應(yīng)該有不小于2的解，當(dāng)且僅當(dāng)方程yx²-80x+y=0的大根≥2（其中y大于0），解得0＜y≤32.

∴y的最大值為32（當(dāng)x=2時取得，即把y=32代入方程yx²-80x+y=0求得x=2）.