Question

4．已知P為圓x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：（x-1）²+y²=1的任意一條直徑，則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍（　　）

• A． [-1，15]
• B． [-1，9]
• C． [3，15]
• D． [0，9]

Answer 1

分析 設(shè)出P（x，y）為圓x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，利用數(shù)量積公式得到$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的不等式，求最值．

解答 解：由已知N（1，0），設(shè)P（x，y），EF為圓N：（x-1）²+y²=1的任意一條直徑，如圖
所以$\overrightarrow{NE}=-\overrightarrow{NF}$，則$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}+{\overrightarrow{NP}}^{2}-\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NP}$
=$-{\overrightarrow{NF}}^{2}+{\overrightarrow{NP}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=（x-1）²+y²-1=9-2x，x∈[-3，3]，
所以當(dāng)x=-3時(shí)，9-2x最大值為15，當(dāng)x=3時(shí)，9-2x的最小值為3；
所以$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范圍是[3，15]；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算；解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出P的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)的最值問(wèn)題．