Question

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有an，Sn， an2成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

2

an•an+1

}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得2Sn=an+an2，結(jié)合數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=1，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求
（II）由

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，考慮利用裂項求和即可求解

解答：（Ⅰ）解：由已知：對于，n∈N^*，總有2Sn=an+an2 ①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12   （n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n-a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1  （n≥2）
∴數(shù)列a_n是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時，2S1=a1+a12，解得a₁=1
∴a_n=n．
（II）∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

數(shù)列{

2

an•an+1

}的前n項和為

2n

n+1

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項及數(shù)列的裂項求和，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本公式