Question

從原點(diǎn)O引圓（x-m）²+（y-3）²=m²+4的切線y=kx，切點(diǎn)為P，當(dāng)m變化時(shí)，
（1）求切點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）記P的軌跡為曲線C，判斷直線

3

x+y-4=0與曲線C的位置關(guān)系，若相交，求出相交弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），利用切線過原點(diǎn)，則k=

y

x

（x≠0），通過k•k_PM=-1，以及切點(diǎn)在圓上，推出軌跡方程．
（2）判斷軌跡方程是圓的方程，求出圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系，利用垂徑定理求出弦長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
因?yàn)榍芯�過原點(diǎn)，則k=

y

x

（x≠0），
（x-m）²+（y-3）²=m²+4的圓心M的坐標(biāo)為（m，3），
則kPM=

y-3

x-m

由于圓M與直線相切，
所以k•k_PM=-1，

y

x

•

y-3

x-m

=-1①
（x-m）²+（y-3）²=m²+4
可化為x²-2mx+y²-6y=-5②
由①②可得P的軌跡方程為x²+y²=5（x≠0）（8分）
（2）由（1）知，曲線C的圓心為C（0，0），
半徑r=

5

，圓心到直線的距離
d=2＜r，故曲線C與直線

3

x+y-4=0相交，
設(shè)曲線C與直線

3

x+y-4=0交于AB兩點(diǎn)，
AB的中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，
在Rt△ACD，|AD|=

r2-d2

=1，
故|AB|=2|AD|=2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．