Question

已知Q是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一點，P（1，-1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（1）若QF₁²-QF₂²=4，求cos∠F₁QF₂的值；
（2）求QP+QF₂的最大值，并求出此時Q點坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用QF₁²-QF₂²=4，結(jié)合橢圓的定義，求出QF₁=2.5，QF₂=1.5，再利用余弦定理，即可求cos∠F₁QF₂的值；
（2）QP+QF₂=PQ+4-QF₁≤4+PF₁=4+

5

，當且僅當P，Q，F(xiàn)₁三點共線時，取等號，直線PF₁的方程代入橢圓方程，即可求出此時Q點坐標．

解答： 解：（1）∵QF₁²-QF₂²=4，QF₁+QF₂=4，
∴QF₁-QF₂=1，
∴QF₁=2.5，QF₂=1.5，
∴cos∠F₁QF₂=

2．52+1．52-4

2•2.5•1.5

=0.6；
（2）QP+QF₂=PQ+4-QF₁≤4+PF₁=4+

5

，當且僅當P，Q，F(xiàn)₁三點共線時，取等號．
∴QP+QF₂的最大值為4+

5

．
直線PF₁的方程為y=-

1

2

（x+1），代入橢圓方程可得4x²+2x-11=0，
可得x=

-1-3 5

4

（另一根舍去），
∴y=

3 5 -3

8

，
∴Q（

-1-3 5

4

，

3 5 -3

8

）．

點評：本題考查橢圓的方程與定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．