【題目】關(guān)于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集為(﹣∞,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】[ ,+∞)
【解析】解:不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,
則a(x2+3)≥|x+1|,
即a≥ ,
設(shè)t=x+1,則x=t﹣1,
則不等式a≥ 等價(jià)為a≥ = = >0
即a>0,
設(shè)f(t)= ,
當(dāng)|t|=0,即x=﹣1時(shí),不等式等價(jià)為a+3a=4a≥0,此時(shí)滿足條件,
當(dāng)t>0,f(t)= = ,當(dāng)且僅當(dāng)t= ,
即t=2,即x=1時(shí)取等號(hào).
當(dāng)t<0,f(t)= =
當(dāng)且僅當(dāng)﹣t=﹣ ,
∴t=﹣2,即x=﹣3時(shí)取等號(hào).
∴當(dāng)x=1,即t=2時(shí),fmax(t)= =
∴要使a≥ 恒成立,則a
方法2:由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,
則a(x2+3)≥|x+1|,
∴要使不等式的解集是(﹣∞,+∞),則a>0,
作出y=a(x2+3)和y=|x+1|的圖象,
由圖象知只要當(dāng)x>﹣1時(shí),直線y═|x+1|=x+1與y=a(x2+3)相切或相離即可,
此時(shí)不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等價(jià)為不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0,
對(duì)應(yīng)的判別式△=1﹣4a(3a﹣1)≤0,
即﹣12a2+4a+1≤0,
即12a2﹣4a﹣1≥0,
(2a﹣1)(6a+1)≥0,
解得a≥ 或a≤﹣ (舍),
故答案為:[ ,+∞)

將不等式恒成立進(jìn)行參數(shù)分類得到a≥ ,利用換元法將不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式的性質(zhì),根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出 的最大值即可得到結(jié)論.

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(2)點(diǎn)P在直線x﹣2y=0上的投影為A,求事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn),使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率的最大值.

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A.
B.
C.
D.

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