Question

已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足關(guān)系f（2+t）=f（2-t），且f（x）有最小值-9．又知函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，它們之間的距離為6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)f（2+t）=f（2-t），求出對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)A，B的距離為6，即可求得二次函數(shù)f（x）的解析式；

解答： 解：（1）∵f（x）的最小值為-9，
∴可設(shè)f（x）=a（x-h）²-9（a＞0）…（2分）
又f（2+t）=f（2-t），
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
∴f（x）=a（x-2）²-9．
∴h=2          …（4分）
∴f（x）=a（x-2）²-9
由f（x）=a（x-2）²-9=0，
可得x₁=2-

3

a

，x₂=2+

3

a

，
∴A、B的距離為|x₁-x₂|=2×

3

a

=6，
∴a=1
∴f（x）=（x-2）²-9．
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=（x-2）²-9…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，函數(shù)的最值的判斷是解題的關(guān)鍵．