Question

已知函數f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

），x∈R
（Ⅰ）將f（x）化為f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）；
（Ⅱ）若對任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若將y=f（x）的圖象先縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，后向左平移

π

6

個單位得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）-

1

3

在區(qū)間[-2π，4π]內所有零點之和．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）通過兩角和與差的三角函數以及二倍角公式化簡f（x）化為f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）；
（Ⅱ）對任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，轉化為函數的最小值問題，然后求a的取值范圍；
（Ⅲ）利用將y=f（x）的圖象先縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，后向左平移

π

6

個單位得到函數y=g（x）的圖象，求出g（x）的表達式，然后利用數形結合畫出函數g（x）=sinx，y=-

1

3

的圖象，利用函數的性質求解在區(qū)間[-2π，4π]內所有零點之和．

解答： 解：（I）f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

2

)…（2分）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x…（4分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)…（6分）
（II）若對任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，則只需f_min（x）≥a即可
∵-

π

12

≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，…（8分）
∴當2x-

π

6

=-

π

3

即x=-

π

12

時，
f（x）有最小值即fmin(x)=f(-

π

12

)=-

3

2

故求a的取值范圍為：a≤-

3

2

…（10分）
（III）依題意可得：g（x）=sinx
由g(x)-

1

3

=0得sinx=

1

3

由圖可知，原函數有6個零點：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆根據對稱性有：

x1+x2

2

=-

3π

2

，

x3+x4

2

=

π

2

，

x5+x6

2

=

5π

2

從而，所有零點和為：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π…（14分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，函數的零點以及數形結合、轉化思想的應用，考查計算能力．