Question

22．（本題滿分15分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準線的距離等于5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程;
（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;
（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

Answer 1

解: （Ⅰ）設拋物線方程為,由題意得:
,, 所以拋物線C的方程為…4分

（Ⅱ） 解法一:拋物線焦點與的圓心重合即為E（0,1）,
設過拋物線焦點的直線方程為,,
,,得到,…………………………．2分
由拋物線的定義可知,,
．即為定值1………．．3分
（Ⅲ）,所以,
所以切線AM的方程為,切線BM的方程為,
解得即…………………………………………………………．2分
所以點M到直線AB的距離為．
設
…………………………………．．…………．2分
令,所以,,
所以在上是增函數,當,即時,,即與面積之和的最小值為2………………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）解法二:設過拋物線焦點的直線方程為,,不妨設．
,,得到,…………………………．2分
,,

,即為定值……………．．………．．3分
（Ⅲ）,所以,所以切線AM的方程為,
切線BM的方程為,解得即………．2分
所以點M到直線AB的距離為．
設
………………………………．2分
令,所以,,
所以在上是增函數,當,即時,,即與面積之和的最小值為2………………………………………………………………………………2分

略