Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

3

2

，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)最值的求解方法，利用導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x³-3x．
∴f′（x）=3x²-3，
f（1）=1-3=-2，
即在（1，-2）處的切線斜率k=f′（1）=3-3=0，
即函數(shù)y=x³-3在（1，-2）處的切線方程為y=-2，
則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y=-2；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
∴由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∵f（-

3

2

）=

9

8

，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3）=18，
故函數(shù)的最大值為f（3）=18，最小值為f（1）=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的切線方程以及函數(shù)最值的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是即可得到結(jié)論．