Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，設(shè)平面向量

m

=（a，2c），

n

=（sinA，

3

），若滿足條件

m

∥

n

．
（1）確定角C的大小；
（2）若c=

7

，△ABC的面積S=

3

2

3

，求a²+b²的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標，根據(jù)兩向量平行，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡求出sinC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積與sinC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，把c，ab，cosC的值代入即可求出a²+b²的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a，2c），

n

=（sinA，

3

），且

m

∥

n

，
∴

a

sinA

=

2c

3

，
∵由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

2c

3

=

c

sinC

，即sinC=

3

2

，
∵C為銳角，
∴C=

π

3

；
（2）由三角形面積公式得：S=

1

2

absinC=

3 3

2

，即ab=6，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=a²+b²-6=7，
則a²+b²=13．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．