Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足∠F₁PF₂=90°．若△PF₁F₂的面積為4，且雙曲線的離心率為

3

，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A、2
• B、

  6

• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義||PF₁|-|PF₂||=2a，設(shè)雙曲線的焦距為2c，通過|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，結(jié)合△PF₁F₂的面積以及雙曲線的離心率即可求解實(shí)軸長(zhǎng)度．

解答： 解：由條件可得||PF₁|-|PF₂||=2a，由題意可知△F₁PF₂為直角三角形，
設(shè)雙曲線的焦距為2c，則|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，
故（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²，即4a²+2|PF₁|•|PF₂|=4c²，
故|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²=2b²，故△PF₁F₂的面積為

1

2

|PF₁|•|PF₂|=b²=4，再由雙曲線的離心率e=

c

a

=

3

，故c=

3

a，故b²=c²-a²=2a²=4，即a=

2

，故實(shí)軸為2a=2

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．