Question

【題目】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P是空間中任意一點(diǎn)，下列正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

①若P為棱中點(diǎn)，則異面直線AP與CD所成角的正切值為；

②若P在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為；

③若P在半圓弧CD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為；

④若過點(diǎn)P的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)異面直線的夾角求解，棱錐外接球的求解，以及正方體截面的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

對(duì)于①，如圖所示，

由，可知即為異面直線AE與CD所成的角．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，連接BE，則在中，，

，故正確

對(duì)于②，將三角形與四邊形沿展開到同一個(gè)平面上，如圖所示．

由圖可知，線段的長(zhǎng)度即為的最小值．

在中，利用余弦定理可得，故錯(cuò)誤.

對(duì)于③，如下圖所示：

當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，

此時(shí)，三棱錐的外接球球心是AC中點(diǎn)，

半徑為﹐其表面積為．故正確.

對(duì)于④﹐平面與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，

只需與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可，如圖所示：

．則平面PQR與正方體過點(diǎn)A的三條棱所成的角相等．

若點(diǎn)E，F，G，H，M，N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，

可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六邊形EFGHMN為正六邊形．

正方體棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形EFGHMN的邊長(zhǎng)為，

可得此正六邊形的面積為，為截面最大面積．

故正確的命題有3個(gè)．

故選：C.