【題目】設函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調性;
(2)若時, 恒成立,求整數(shù)的最小值.
【答案】(1) f(x)遞增區(qū)間為(0, ),(1,+∞),遞減區(qū)間為(,1);(2)1.
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;
(2)問題轉化為a>x-2(x-1)lnx恒成立,令g(x)=x-2(x-1)lnx,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的最小值即可.
試題解析:
(1)由題意可得f(x)的定義域為(0,+∞),
當a=2時,f(x)=﹣x2+2x+2(x2﹣x)lnx,
所以f′(x)=﹣2x+2+2(2x﹣1)lnx+2(x2﹣x)=(4x﹣2)lnx,
由f'(x)>0可得:(4x﹣2)lnx>0,
所以或,
解得x>1或0<x<;
由f'(x)<0可得:(4x﹣2)lnx<0,
所以或,
解得:<x<1.
綜上可知:f(x)遞增區(qū)間為(0,),(1,+∞),遞減區(qū)間為(,1).
(2)若x∈(0,+∞)時,f(x)>0恒成立,
即a>x﹣2(x﹣1)lnx恒成立,
令g(x)=x﹣2(x﹣1)lnx,則a>g(x)max.
因為g′(x)=1﹣2(lnx+)=﹣2lnx﹣1+,
所以g'(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),且g'(1)>0,g′(2)<0,
故存在x0∈(1,2)使得g(x)在(0,x0)上為增函數(shù),在(x0,+∞)上是減函數(shù),
∴x=x0時,g(x)max=g(x0)≈0,
∴a>0,又因為a∈Z,所以amin=1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的下頂點為,如圖所示,點為直線上的一個動點,過橢圓的右焦點的直線垂直于,且與交于兩點,與交于點,四邊形和的面積分別為.求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一條光線從點A(﹣4,﹣2)射出,到直線y=x上的B點后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點,又被y軸反射,這時反射光線恰好過點D(﹣1,6).求BC所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下幾個結論中:①在△ABC中,有等式 ②在邊長為1的正△ABC中一定有 =
③若向量 =(﹣3,2), =(0,﹣1),則向量 在向量 方向上的投影是﹣2
④與向量 =(﹣3,4)同方向的單位向量是 =(﹣ , )
⑤若a=40,b=20,B=25°,則滿足條件的△ABC僅有一個;
其中正確結論的序號為 .
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