Question

二次函數(shù)y=x²-2x+2與y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它們的一個交點處的切線互相垂直，則

1

a

+

1

b

的最小值是（　�。�

• A、

  16

  5

• B、

  8

  5

• C、4
• D、

  24

  5

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,基本不等式

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先對兩個二次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)交點坐標(biāo)，根據(jù)它們在一個交點處的切線相互垂直可得到 a+b=，再由用基本不等式可求得最小值．

解答： 解：∵y=x²-2x+2，∴y'=2x-2，
∵y=-x²+ax+b，∴y'=-2x+a，
設(shè)交點為（x₀，y₀），
∵它們在一個交點處切線互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交點分別代入二次函數(shù)式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-4+2b=0，即a+b=

5

2

，（a＞0，b＞0）
∴

1

a

+

1

b

=

2

5

（a+b）（

1

a

+

1

b

）=

2

5

（2+

b

a

+

a

b

）≥

2

5

（2+2

b a • a b

）=

8

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

5

4

，取最小值

8

5

．
故選：B．

點評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．綜合性較強，運算量較大．