Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線C1:的準(zhǔn)線1與x軸交于橢圓C2：的右焦點(diǎn)F2，F1為C2的左焦點(diǎn).橢圓的離心率為，拋物線C1與橢圓C2交于x軸上方一點(diǎn)P，連接PF1并延長其交C1于點(diǎn)Q，M為C1上一動點(diǎn)，且在P，Q之間移動.

（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求C1和C2的方程；

（2）若△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)△MPQ面積取最大值時(shí)，求面積最大值以及此時(shí)直線MP的方程.

Answer 1

【答案】（1）,；

（2）面積最大值為，此時(shí).

【解析】

（1）由題意，和，得到，，根據(jù)取最小值時(shí)，即可求得拋物線和橢圓的方程；

（2）用表示出橢圓的方程，聯(lián)立方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出的三邊關(guān)于的式子，從而確定實(shí)數(shù)的值，求出得距離和到直線的距離，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得面積取最大值，即可求解．

（1）由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，

橢圓的右焦點(diǎn)，所以，

又由，則，，所以取最小值時(shí)，

所以拋物線C1:，

又由，，所以橢圓C2的方程為．

（2）因?yàn)?/span>，，則，，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

聯(lián)立方程組，得，

所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，于是，，，

又的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以，

此時(shí)拋物線方程為，，，

則直線PQ的方很為，聯(lián)立，得或（舍去），于是.所以，

設(shè)到直線的距離為，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以的面積最大值為，

此時(shí)MP：.