【題目】如圖,在三棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,底面,點(diǎn)分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)先證明,,可得平面從而平面平面;
(2)由題意可知兩兩垂直,分別以方向?yàn)?/span>軸建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量及,代入公式可得未知量的方程,解之即可.
(1)證明:∵,為的中點(diǎn),
∴
又平面,平面,∴
∵
∴平面
∵平面
∴平面平面
(2)解:如圖,由(1)知,,,點(diǎn),分別為的中點(diǎn),
∴,∴,,又,
∴兩兩垂直,分別以方向?yàn)?/span>軸建立坐標(biāo)系.
則,,,,
設(shè),
所以
,,設(shè)平面的法向量,則
,,令,則,,
∴
由已知 或(舍去)
故
故線段上存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角的正弦值為,
此時(shí)為線段的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線(為參數(shù))與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才,分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行,規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績(jī)中位數(shù)的具有復(fù)賽資格,某校有900名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.
(1)求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線;
(2)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?
(3)從(2)抽取的7人中,選出4人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù),學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì),若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎(jiǎng)勵(lì),若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎(jiǎng)勵(lì),用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線的參數(shù)方程為:為參數(shù),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為:,直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),
求曲線的普通方程及的最小值;
若點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(大小忽略不計(jì),取),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為( )
A. 134 B. 67 C. 200 D. 250
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在區(qū)間上是增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值組成的集合;
(2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、.試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)任意及 恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列關(guān)于隨機(jī)變量及分布的說(shuō)法正確的是( )
A.拋擲均勻硬幣一次,出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量
B.某人射擊時(shí)命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)服從兩點(diǎn)分布
C.離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1
D.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定:在一次摸獎(jiǎng)中,摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球,再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球,根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù),設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下:
獎(jiǎng)級(jí) | 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) | 獲獎(jiǎng)金額 |
一等獎(jiǎng) | 3紅1藍(lán) | 200元 |
二等獎(jiǎng) | 3紅0藍(lán) | 50元 |
三等獎(jiǎng) | 2紅1藍(lán) | 10元 |
其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí).
(1)求摸獎(jiǎng)?wù)叩谝淮蚊驎r(shí)恰好摸到1個(gè)紅球的概率;
(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù).
求實(shí)數(shù)的值;
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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