【題目】已知點(diǎn)P(2,2),,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),l的方程及△POM的面積.

【答案】(1) ;(2)直線的方程為的面積為.

【解析】

求得圓的圓心和半徑.

1)當(dāng)三點(diǎn)均不重合時(shí),根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知是定點(diǎn),所以的軌跡是以為直徑的圓(除兩點(diǎn)),根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當(dāng)三點(diǎn)有重合的情形時(shí),的坐標(biāo)滿足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.

2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)(垂徑定理),求得直線的斜率,進(jìn)而求得直線的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.

,故圓心為,半徑為.

(1)當(dāng)C,M,P三點(diǎn)均不重合時(shí),CMP=90°,所以點(diǎn)M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P,C),線段中點(diǎn)為,,故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,y≠2x≠0,y≠4).

當(dāng)C,M,P三點(diǎn)中有重合的情形時(shí),易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)(0,4).

綜上可知,點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.

由于|OP|=|OM|,O在線段PM的垂直平分線上.P在圓N,從而ONPM.因?yàn)?/span>ON的斜率為3,所以的斜率為,故的方程為,即.

又易得|OM|=|OP|=,點(diǎn)O的距離為,,

所以△POM的面積為.

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