Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求f(x)的最小值；

(2)若關(guān)于x的不等式在(1,+∞)上恒成立,求整數(shù)k的最大值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）3.

【解析】

（1）判斷當(dāng)x>1時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的最小值位置，然后求解即可;（2）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，即恒成立，即h（x）的最小值大于k，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過記，判斷函數(shù)的最值，當(dāng)x>a時(shí)，判斷h'（x）符號，求解函數(shù)的最小值，可得正整數(shù)k的最大值.

（1）由，

當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0.

故當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1.

（2）由,即,

即在(1,+∞)上恒成立,

則在(1,+∞)上的最小值大于k.

,記,

則當(dāng)x（1，+∞）時(shí)g′(x)=，

所以，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又，

存在唯一存a，

且滿足，,

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

故正整數(shù)k的最大值是3.