Question

【題目】如圖所示的幾何體中，ABC﹣A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（1）若AA1=AC，求證：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值為 ，求三棱錐C1﹣A1CD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接A1C交AC1于E，因為AA1=AC，又A A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AC，

所以A1ACC1為正方形，所以A1C⊥AC1，

在△ACD中，AD=2CD，∠ADC=60°，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2﹣2 ACDCcos60°，

所以 ，所以AD2=AC2+CD2，

所以CD⊥AC，又AA1⊥CD．所以CD⊥平面A1ACC1，

所以CD⊥AC1，所以AC1⊥平面A1 B1CD．

（2）如圖建立直角坐標系，則D（2，0，0）， ， ， ∴ ，

對平面 AC1D，因為 ，

所以法向量 ，

平面C1CD的法向量為 ，

由 ，得λ=1，

所以 A A1=AC，此時，CD=2， ，

所以

【解析】（1）連接A1C交AC1于E，證明AA1⊥AC，CD⊥AC，推出CD⊥平面A1ACC1 ， 然后證明AC1⊥平面A1 B1CD．（2）如圖建立直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面 AC1D的法向量 ，平面C1CD的法向量為 ，通過向量的數(shù)量積求出λ=1，然后利用等體積法求解體積即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能得出正確答案．