Question

設拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，過焦點F作y軸的垂線，交拋物線于A、B兩點，點M（0，-

p

2

），Q為拋物線上異于A、B的任意一點，經過點Q作拋物線的切線，記為l，l與MA、MB分別交于D、E．
（Ⅰ）求證：直線MA、MB與拋物線相切；
（Ⅱ）求證

S△QAB

S△MDC

=2．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出l_AM：y=-x-

p

2

，l_MB：y=x-

p

2

，代入x²=2py，利用根的判別式，可得直線MA、MB與拋物線相切；
（Ⅱ）求出S_△QAB=

|x12-p2|

2

，S_△MDC=

1

2

p2+x12

•

|x12-p2|

2 x12+p2

=

|x12-p2|

4

，即可證明結論．

解答： （Ⅰ）解：y_A=y_B=

p

2

，x_A=-p，x_B=p---------（1分）
k_AM=-1．k_MB=-1---------（2分）
l_AM：y=-x-

p

2

，l_MB：y=x-

p

2

---------（3分）
l_AM：y=-x-

p

2

，代入x²=2py，可得x²+2px+p=0，
∴△=0
∴直線AM與拋物線相切，
同理直線BM與拋物線相切---------（5分）
（Ⅱ）證明：設Q（x₁，y₁），切線l：=

x1

p

x-

x12

2p

，S_△QAB=

|x12-p2|

2

---------（7分）
l_AM：y=-x-

p

2

與切線l：=

x1

p

x-

x12

2p

聯(lián)立，
可得D（

x1-p

2

，-

x1

2

），
同理E（

x1+p

2

，

x1

2

），---------（10分）
∴|DE|=

p2+x12

，
∵M到直線DE的距離d=

|x12-p2|

2 x12+p2

--------（12分）
∴S_△MDC=

1

2

p2+x12

•

|x12-p2|

2 x12+p2

=

|x12-p2|

4

∴

S△QAB

S△MDC

=2．---------（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．